FAI - subiecte lucrari

  1. Un sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute este compatibil daca:
    • determinantii caracteristici ai sistemului sunt egali cu zero
    • Rangul matricei coeficientilor este diferit de rangul matricei extinse a sistemului
    • Rangul matricei coeficientilor este mai mare decat numarul necunoscutelor
    • Determinantul matricei coeficientilor este diferit de zero
  2. Un sistem omogen de m ecuatii liniare cu n necunoscute admite si soluii nenule daca:
    • Rangul matricei coeficientilor este mai mic decat numarul necunoscutelor
    • Rangul matricei coeficientilor este egal cu numarul necunoscutelor
    • Determinantul matricei coeficientilor este nul
    • Rangul matricei coeficientilor este egal cu numarul ecuatiilor sistemului
  3. O matrice nenula cu m linii si n coloane, cu elemente numere reale, are rangul daca:
    • Exista in A un minor nenul de ordinul r si orice minor de ordinul r+1 din A este nul.
    • Aplicand algoritmul lui Gauss pentru calculul rangului matricei A se vor obtine cel putin r + 1 pivoti nenuli
  4. Sa se determine valoarea parametrului real m astfel incat vectorii urmatori sa fie linear dependenti si pentru valoarea gasita, relatia de dependenta dintre ei :

    #Cod Octave:

    pkg load symbolic;
syms m;
v1=[1,3,2]; v2=[1,-2,3]; v3=[0,5,m];

    # valoarea lui m
m = solve(det([v1.',v2.',v3.'])==0, m)

    #relatia de dependenta (fractii)
format rat;
rref([v1.',v2.',v3.',[0;0;0]])

    # test
# reinitializare vectori cu m calculat
v1=[1,3,2]; v2=[1,-2,3]; v3=[0,5,m];

  1. # verificare ecuatii
v1 - v2 - v3 # ar trebui sa returneze (0,0,0)
  2. Sa se determine valoarea parametrului real m astfel incat vectorii urmatori sa fie linear dependenti precum si relatia de dependenta dintre ei :

    #Cod Octave:

    pkg load symbolic;
syms m;
v1=[1,4,5]; v2=[-1,3,m]; v3=[2,-1,1];

    # valoarea lui m
m = solve(det([v1.',v2.',v3.'])==0, m)

    #relatia de dependenta (fractii)
format rat;
rref([v1.',v2.',v3.',[0;0;0]])

    # test
# reinitializare vectori cu m calculat
v1=[1,4,5]; v2=[-1,3,m]; v3=[2,-1,1];
# verificare ecuatii
-5*v1 + 9*v2 + 7*v3 # ar trebui sa returneze (0,0,0)
  3. Determinati valoarea parametrul real m astfel incat vectorii urmatori : sa formeze o baza in spatiul vectorial , iar pentru m=1 calculati coordonatele vectorului in aceasta baza.
  4. Aratati ca matricea urmatoare, A, este inversabila si calculati suma S a elementelor din linia a treia a matricei sale inverse:

    # Cod Octave

  1. A = [2,2,3; 1,-1,0; -1,2,1];
det(A) # diferit de 0 => A este inversabila
format rat;
inv_A = inv(A)
sum(inv_A(3,:)) # ans = 9
  2. Aratati ca matricea urmatoare, A, este inversabila si calculati suma S a elementelor din linia a treia a matricei sale inverse:

    # Cod Octave

    A = [2,3,1; 3,6,2; 1,2,1];
det(A) # diferit de 0 => A este inversabila
format rat;
inv_A = inv(A)
sum(inv_A(3,:)) # ans = 2
  3. Fie matricea patratica, de ordinul 3:
    Aratati ca A este inversabila si calculati suma elementelor din linia 1 a matricei

    # Cod Octave

    A = [1,0,1; 0,1,1; 1,1,1];
det(A) # diferit de 0 => A este inversabila
format rat;
inv_A = inv(A)
sum(inv_A(1,:)) # ans = 0
  4. Aratati ca matricea urmatoare, A, este inversabila si calculati determinantul matricei sale inverse

    # Cod Octave

    A = [2,2,-1; 2,-1,2; -1,2,2];
det(A) # diferit de 0 => A este inversabila
format rat;
inv_A = inv(A)
det(inv_A) # ans = -1/27
  2. Aratati ca matricea urmatoare, A, este inversabila si calculati determinantul matricei sale inverse

    # Cod Octave

    A = [1,1,-1; 3,-2,2; 2,3,-2];
det(A) # diferit de 0 => A este inversabila
format rat;
inv_A = inv(A)
det(inv_A) # ans = -1/5
  3. Fie A o matrice patratica de ordinul 3.
    Stiind ca Det(A) = -3, precizati care din afirmatiile urmatoare este adevarata:
  4. Fie A o matrice patratica de ordinul 3.
    Stiind ca Det(A) = 5, precizati care din afirmatiile urmatoare este adevarata:
  1. Sa se calculeze determinantul patratului matricei A, stiind ca:

    #Cod Octave:

    M = [6,5;-3,-3];
det(M^2)
  2. Sa se calculeze determinantul patratului matricei A, stiind ca:

    #Cod Octave:

    M = [4,3;-6,-5];
det(M^2)
  3. Sa se calculeze determinantul patratului matricei A, stiind ca:

    #Cod Octave:

    M = [3,-2;-2,3];
det(M^2)
  4. Sa se determine polinomul caracteristic al aplicatiei liniare f, a carei matrice A, asociata in baza canonica, este urmatoarea:

    # Cod Octave:

    pkg load symbolic;
A = sym([4,1; -2,1]);
syms lambda;
charpoly(A, lambda) # ans = lambda^2 -5*lambda + 6
  2. Sa se determine polinomul caracteristic al aplicatiei liniare f, a carei matrice A, asociata in baza canonica, este urmatoarea:

    # Cod Octave:

    pkg load symbolic;
A = sym([-4,-3; -2,-5]);
syms lambda;
charpoly(A, lambda) # ans = lambda^2 + 9*lambda + 14
  3. Sa se determine polinomul caracteristic al aplicatiei liniare f, a carei matrice A, asociata in baza canonica, este urmatoarea:

    # Cod Octave:

    pkg load symbolic;
A = sym([-2,1; -4,3]);
syms lambda;
charpoly(A, lambda) # ans = lambda^2 - lambda - 2
  4. Sa se calculeze rangul matricei urmatoare:

    # Cod Octave:

    A = [3,2,5,4; 2,1,3,3; 1,2,3,0];
rank(A) # ans = 2
  2. Sa se calculeze rangul matricei urmatoare:

    # Cod Octave:

    A = [2,-1,1,2; 1,1,2,1; 3,-2,1,3];
rank(A) # ans = 2
  3. Sa se calculeze rangul matricei urmatoare:

    # Cod Octave:

    A = [1,-2,0,1; 3,-1,-2,0; 2,1,-2,-1];
rank(A) # ans = 2
  4. Sa se determine parametrul real m astfel incat vectorii urmatori sa fie liniar independenti in spatiul vectorial tridimensional
    • Vectorii sunt linear independenti pentru orice

    Cod Octave:

    pkg load symbolic;
syms m;
M = [[1,2,-1];[4,-1,3];[5,1,m]];
solve(det(M)==0, m)
  1. Sa se determine parametrul real m astfel incat vectorii urmatori sa fie liniar independenti in spatiul vectorial tridimensional
    • Vectorii sunt linear independenti pentru orice

    Cod Octave:

    pkg load symbolic;
syms m;
M = [[2,-1,3];[1,2,-4];[-3,4,m]];
solve(det(M)==0, m)
  2. Sa se determine parametrul real m astfel incat vectorii urmatori sa fie liniar independenti in spatiul vectorial tridimensional
    • Vectorii sunt linear dependenti pentru orice

    Cod Octave:

    pkg load symbolic;
syms m;
M = [[-1,1,0];[2,-2,1];[1,m,1]];
solve(det(M)==0, m)
  3. Calculati determinantul matricei:

    # Cod Octave:

    A = [4,-3; 1,-1];
det(A) # ans = -1
  4. Calculati determinantul matricei:

  1. # Cod Octave:

    A = [8,3; 4,2];
det(A) # ans = 4
  2. Calculati determinantul matricei:

    # Cod Octave:

    A = [3,1; 5,2];
det(A) # ans = 1
  3. Sa se calculeze suma S a elementelor matricei inverse a matricei urmatoare:

    # Cod Octave

    A = [-3,7; -2,5];
inv_A = inv(A);
sum(inv_A'(:)) # ans = 3
  4. Sa se calculeze suma S a elementelor matricei inverse a matricei urmatoare:

    # Cod Octave

    A = [5,8; 2,3];
inv_A = inv(A);
sum(inv_A'(:)) # ans = 2
  5. Sa se calculeze suma S a elementelor matricei inverse a matricei urmatoare:

    # Cod Octave

    A = [3,1; 5,2];
inv_A = inv(A);
sum(inv_A'(:)) # ans = -1
  2. Fie un sistem algebric, liniar, de n ecuatii cu n necunoscute, scris sub forma matriceala . Sistemul este compatibil determinat daca si numai daca:
    • Matricea coeficientilor, A, este inversabila
    • Matricea coeficientilor, A, nu este inversabila
    • unde este matricea extinsa a sistemului
    • Sistemul are cel putin o necunoscuta secundara.
  3. Fie un sistem algebric, liniar, de m ecuatii cu n necunoscute, scris sub forma matriceala . Sistemul este compatibil daca si numai daca:
    • unde este matricea extinsa a sistemului
    • Exista cel putin un minor caracteristic nenul
    • Sistemul nu are nici o necunoscuta secundara
    • Rangul matricei extinse a sistemului este mai mare decat numarul ecuatiilor
  4. Fie A o matrice patratica de ordinul n. Matricea A este inversabila daca:
    • Exista o matrice patratica de ordinul n, notata cu astfel incat
    • Exista o matrice patratica de ordinul n, notata cu , astfel incat
    • Exista o matrice patratica de ordinul n, notata cu , astfel incat
  5. Sa se determine matricea diagonalizatoare T pentru aplicatia liniara f a carei matrice asociata A in baza canonica este:
  2. Sa se determine matricea diagonalizatoare T pentru aplicatia liniara f a carei matrice asociata A in baza canonica este:
  3. Fie operatorul liniar f definit astfel:
    Sa se determine dimensiunile subspatiilor vectoriale Ker(f) si Im(f).

    Cod Octave:

    M = [[2,-3,1,0];[1,5,-3,0];[5,12,-8,0]];
rank(M)


    rank(M) = 2 (ans = 2)
    3 = Dim(Ker(f)) - 2
    Dim(Ker(f))=1, Dim(Im(f))=2
  4. Fie operatorul liniar f definit astfel:
    Sa se determine dimensiunile subspatiilor vectoriale Ker(f) si Im(f).

    Cod Octave:

    M = [[1,1,-1,0];[1,-1,1,0];[5,-1,1,0]];
rank(M)


    rank(M) = 2 (ans = 2)
    3 = Dim(Ker(f)) - 2
    Dim(Ker(f))=1, Dim(Im(f))=2
  2. Sa se arate ca vectorii urmatori sunt linear dependenti si sa se determine relatia de dependenta dintre ei:

    # Cod Octave:

    v1=[2,1,-1]; v2=[1,-1,2]; v3=[4,-1,3];
rref([v1.',v2.',v3.',[0;0;0]])

    # test
v1 + 2*v2 -v3 # ans = [0,0,0]
  3. Sa se arate ca vectorii urmatori sunt linear dependenti si sa se determine relatia de dependenta dintre ei:

    # Cod Octave:

    v1=[2,-5,3]; v2=[3,-8,1]; v3=[1,-2,5];
rref([v1.',v2.',v3.',[0;0;0]])

    # test
2*v1 - v2 - v3 # ans = [0,0,0]
  4. Determinati dimensiunea subspatiului W generat de vectorii urmatori din

    # Cod Octave:

    v1=[2,-5,3]; v2=[3,-8,1]; v3=[1,-2,5];
M = [v1.',v2.',v3.'];
rank(M) # ans = 2
  2. Determinati dimensiunea subspatiului W generat de vectorii urmatori din

    # Cod Octave:

    v1=[2,1,5]; v2=[-3,9,-6]; v3=[-5,1,-12];
M = [v1.',v2.',v3.'];
rank(M) # ans = 2
  3. Sa se determine valorile proprii ale aplicatiei liniare f, a carei matrice A, asociata in baza canonica, este urmatoarea:

    # Cod Octave:

    pkg load symbolic;
syms lambda;
solve(det([[11-lambda,16];[-2,-1-lambda]])==0,lambda)
  4. Sa se determine valorile proprii ale aplicatiei liniare f, a carei matrice A, asociata in baza canonica, este urmatoarea:

    # Cod Octave:

  1. pkg load symbolic;
syms lambda;
solve(det([[-4-lambda,-3];[-2,-5-lambda]])==0,lambda)
  2. Sa se determine valorile proprii ale aplicatiei liniare f, a carei matrice A, asociata in baza canonica, este urmatoarea:

    # Cod Octave:

    pkg load symbolic;
syms lambda;
solve(det([[4-lambda,1];[-2,1-lambda]])==0,lambda)
  3. Stiind ca vectorii urmatori formeaza o baza in spatiul vectorial tridimensional calculati coordonatele vectorului in aceasta baza.

    # Cod Octave:

    M = [[1,2,-2,-5];[-4,1,2,-1];[2,-1,3,9]];
sym(round(rref(M))(:,4))
  4. Aratati ca vectorii urmatori formeaza o baza in spatiul vectorial tridimensional calculati coordonatele vectorului in aceasta baza.

    # Cod Octave:

    M = [[1,1,-1,0];[3,-2,2,5];[2,3,-2,2]];
sym(round(rref(M))(:,4))
  5. Sa se determine cel mai mare divizor comun al numerelor:
    11432775; 15265170

    # Cod Octave:

    gcd(11432775, 15265170) # ans = 32205
  2. Care este ordinul elementului in grupul ciclic
  3. Sa se determine elementele inversabile si caracteristica lui Euler ale monoidului
  4. Teorema lui Lagrange pentru grupuri finite este:
    • Ordinul oricarui subgrup al unui grup finit este divizor al ordinului grupului
    • Daca p este un numar prim, atunci (p - 1) != -1(mod p)
    • Orice grup finit de ordin un numar prim este grup ciclic
    • Daca p este un numar prim si este un numar intreg, prim cu p, atunci